Artinの定理を経由するGaloisの基本定理の証明

証明.
$L/K$ は有限次分離拡大であるから、原始元定理により $L = K(\theta)$ となる元 $\theta \in L$ が存在する。
$\alpha$ と $\beta$ は $K$ 上共役であるため同じ最小多項式 $p(x) \in K[x]$ を持ち、$\alpha \mapsto \beta$ と写し $K$ の元を固定する同型写像 $\phi: K(\alpha) \xrightarrow{\sim} K(\beta)$ が存在する。
ここで、$\theta$ の $K(\alpha)$ 上の最小多項式を $h_1(x) \in K(\alpha)[x]$ とする。同型写像 $\phi$ によって $h_1(x)$ の各係数を $K(\beta)$ の元に写して得られる多項式を $h_2(x) \in K(\beta)[x]$ とおく。
$\theta$ の $K$ 上の最小多項式 $F(x) \in K[x]$ を考えると、$F(\theta)=0$ であるため、$h_1(x)$ は $K(\alpha)[x]$ において $F(x)$ の約数である（$F(x) = h_1(x)q_1(x)$）。 $F(x)$ の係数は $K$ に属するため $\phi$ によって不変であり、したがって $h_2(x)$ も $K(\beta)[x]$ において $F(x)$ の約数となる。
さて、$L/K$ は正規拡大であるため、$K$ 上の多項式 $F(x)$ は $L$ 内で一次式に完全に分解する。よってその約数である $h_2(x)$ も $L$ 内に根を持つ。その根の一つを $\theta' \in L$ とする。
多項式環の剰余環としての単拡大の構成定理より、以下の自然な同型の連鎖が得られる。 $$ L = K(\alpha)(\theta) \cong K(\alpha)[x]/(h_1(x)) \xrightarrow{\tilde{\phi}} K(\beta)[x]/(h_2(x)) \cong K(\beta)(\theta') $$ ここで $\tilde{\phi}$ は $\phi$ から自然に誘導された同型写像である。
$\theta' \in L$ ゆえ $K(\beta)(\theta') \subseteq L$ であり、上の同型によって $[K(\beta)(\theta') : K] = [L : K]$ であるから、$K(\beta)(\theta') = L$ となる。
この連鎖を合成して得られる同型写像 $\sigma: L \xrightarrow{\sim} L$ は、$K$ の元を固定し、$\theta$ を $\theta'$ に、そして $\alpha$ を $\phi(\alpha) = \beta$ に写す。 したがって、$\sigma$ は $L$ の $K$-自己同型（すなわち $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$）であり、$\sigma(\alpha) = \beta$ を満たす。（証明終）

補題 2.1 の証明.
(1) 任意の $k \in \{1,\dots,n\}$ に対して $L_i v_k$ を計算する。$T_{ij} v_k = \lambda^{ij}_k v_k$ より、$(T_{ij} - \lambda^{ij}_j \mathrm{id}_W) v_k = (\lambda^{ij}_k - \lambda^{ij}_j) v_k$ である。 もし $k \neq i$ ならば、積 $L_i$ の因子の中に $j=k$ となる項 $\frac{T_{ik} - \lambda^{ik}_k \mathrm{id}_W}{\lambda^{ik}_i - \lambda^{ik}_k}$ が存在する。この因子を $v_k$ に作用させると、分子が $(\lambda^{ik}_k - \lambda^{ik}_k) v_k = 0$ となるため、$L_i v_k = 0$ である。 一方 $k = i$ の場合、すべての $j \neq i$ に対して分子は $(\lambda^{ij}_i - \lambda^{ij}_j) v_i$ となり、分母と完全に相殺される。したがって $L_i v_i = v_i$ である。 以上より $L_i v_j = \delta_{ij} v_i \quad (i,j=1,\dots,n)$ が示された。

(2) $\Omega$ の元 $c_1, \dots, c_n$ を用いて $\sum_{j=1}^n c_j v_j = 0$ と表されているとする。この両辺に (1) で構成した $L_i$ を作用させると、 $$L_i \left( \sum_{j=1}^n c_j v_j \right) = \sum_{j=1}^n c_j L_i v_j = c_i v_i = 0$$ となる。仮定より $v_i \neq 0$ であるから、$c_i = 0$ を得る。これが任意の $i=1,\dots,n$ で成り立つため、$v_1, \dots, v_n$ は $\Omega$ 上一次独立である。（証明終）

Dedekindの補題の証明.
$V$ を $H$ から $\Omega$ への写像全体のなす $\Omega$ 上のベクトル空間とし、$v_k = \sigma_k \in V$ とおく。これらはゼロ写像ではないので非ゼロベクトルである。$W$ を $v_1, \dots, v_n$ で張られる部分空間とする。 $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ は相異なるので、任意の $i \neq j$ に対して、ある $h_{ij} \in H$ が存在して $\sigma_i(h_{ij}) \neq \sigma_j(h_{ij})$ を満たす。 $W$ 上の一次変換 $T_{ij}$ を、$(T_{ij} f)(x) = f(h_{ij} x)$ によって定義する。$H$ は半群であるため $h_{ij} x \in H$ となり、この一次変換は well-defined である。 $v_k = \sigma_k$ に対して $T_{ij}$ を作用させると、準同型の性質から $$(T_{ij} \sigma_k)(x) = \sigma_k(h_{ij} x) = \sigma_k(h_{ij}) \sigma_k(x)$$ となる。すなわち $T_{ij} v_k = \sigma_k(h_{ij}) v_k$ であり、$v_k$ は固有値 $\lambda^{ij}_k = \sigma_k(h_{ij})$ を持つ固有ベクトルである。 $h_{ij}$ の選び方から $\lambda^{ij}_i = \sigma_i(h_{ij}) \neq \sigma_j(h_{ij}) = \lambda^{ij}_j$ が成り立つ。 したがって先の補題 2.1 の条件がすべて満たされるため、(2) より $v_1, \dots, v_n$ すなわち $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ は $\Omega$ 上一次独立である。（証明終）

証明.
ある $x \in L$ が存在して、すべての $y \in L$ に対して $\mathrm{Tr}_{L/K}(xy) = 0$ が成り立つと仮定する。このとき、自己同型の性質より $$\mathrm{Tr}_{L/K}(xy) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(xy) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(x)\sigma_i(y) = 0$$ が任意の $y \in L$ について成り立つ。これは $L$ の自己同型写像 $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ を乗法群 $H = L^\times$ 上の関数とみなしたとき、関数としての一次関係式 $\sum_{i=1}^n \sigma_i(x) \sigma_i = 0$ が成り立つことを意味する。 Dedekindの補題より、$\sigma_1, \dots, \sigma_n$ は $L^\times$ 上の $L$ に値を持つ関数達として一次独立である。したがって、すべての係数がゼロでなければならないため、各 $i$ に対して $\sigma_i(x) = 0$ となる。 $\sigma_i$ は同型写像であるから、これを満たすのは $x = 0$ のみである。したがって、条件を満たす $x$ は $0$ に限られる。（証明終）

証明.
(1) まず $\dim_L \mathrm{End}_K(L) = [L:K]$ を示す。 $\mathrm{End}_K(L)$ は、$K$ 上のベクトル空間 $L$ の自己準同型全体のなす環であり、$K$ だけでなく $L$ 上のベクトル空間としても自然にみなせる（$L$ の元を左から掛ける作用により）。 もし $[L:K] = m < \infty$ ならば、$\mathrm{End}_K(L)$ は $K$ 上の $m \times m$ 行列環と同型であり、その $K$ 上の次元は $m^2$ である。$L$ の $K$ 上の次元が $m$ であるため、$\mathrm{End}_K(L)$ の $L$ 上の次元は $m^2 / m = m = [L:K]$ となる。 もし $[L:K] = \infty$ ならば、$\dim_L \mathrm{End}_K(L) = \infty$ となり、等式は成立する。

(2) 自然な写像 $\Phi: L[G] \to \mathrm{End}_K(L)$ が同型になることを示す。 $G$ を基底とする $L$ 上のベクトル空間を考え、その元 $\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma$ ($a_\sigma \in L$) に対して積を $$(a\sigma)(b\tau) = a\sigma(b)\sigma\tau \quad (a,b \in L, \sigma,\tau \in G)$$ で定義する。これにより得られる単位元 $1$ を持つ結合代数（接合環 (crossed product) と呼ばれる）を $L[G]$ と書く。 写像 $\Phi: L[G] \to \mathrm{End}_K(L)$ を、$\Phi(\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma)(x) = \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(x)$ によって定義する。

• $\Phi$ が1を持つ結合代数の準同型であること：
  任意の $x \in L$ に対して、$\Phi((a\sigma)(b\tau))(x) = \Phi(a\sigma(b)\sigma\tau)(x) = a\sigma(b)\sigma(\tau(x))$ となる。 一方、$\Phi(a\sigma)(\Phi(b\tau)(x)) = \Phi(a\sigma)(b\tau(x)) = a\sigma(b\tau(x)) = a\sigma(b)\sigma(\tau(x))$ となる。 したがって $\Phi((a\sigma)(b\tau)) = \Phi(a\sigma) \circ \Phi(b\tau)$ が成り立つ。単位元が保たれることも明らかであるため、$\Phi$ は準同型である。
• $\Phi$ が単射であること：
  $\Phi(\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma) = 0$ と仮定する。これは任意の $x \in L$ に対して $\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(x) = 0$ を意味する。 Dedekindの補題より、相異なる自己同型 $\sigma \in G$ たちは $L$ 上一次独立である。したがって全ての $\sigma \in G$ について $a_\sigma = 0$ となり、$\Phi$ は単射である。
• $\Phi$ が全射であることをGalois降下 (Galois descent) で示す：
  写像 $\Psi: L \otimes_K L \to \mathrm{End}_K(L)$ を、$\Psi(a \otimes b)(x) = a \mathrm{Tr}_{L/K}(bx)$ によって定義する。 任意の $b \in L$ に対して $\mathrm{Tr}_{L/K}(bx) = \sum_{\sigma \in G} \sigma(bx) = \sum_{\sigma \in G} \sigma(b) \sigma(x)$ であるから、 $$\Psi(a \otimes b) = a \sum_{\sigma \in G} \sigma(b) \sigma \in \Phi(L[G])$$ となる。したがって $\mathrm{Im}(\Psi) \subset \mathrm{Im}(\Phi)$ である。
  次に $\Psi$ が単射であることを示す。$\sum_{i=1}^r a_i \otimes b_i \in \ker(\Psi)$ とし、$\{a_1, \dots, a_r\}$ を $K$ 上一次独立な $L$ の元の集合として選ぶ。 任意の $x \in L$ に対して $\Psi(\sum_{i=1}^r a_i \otimes b_i)(x) = \sum_{i=1}^r a_i \mathrm{Tr}_{L/K}(b_i x) = 0$ となる。 $\mathrm{Tr}_{L/K}(b_i x) \in K$ であり、$a_i$ は $K$ 上一次独立であるから、各 $i$ に対して $\mathrm{Tr}_{L/K}(b_i x) = 0$ である。
  これが任意の $x \in L$ で成り立つため、トレース写像の非退化性より $b_i = 0$ である。よって $\Psi$ は単射である。
  $\Psi$ は左 $L$ ベクトル空間としての単射準同型である。$L \otimes_K L$ の $L$ 上の次元は $\dim_K L = [L:K]$ であり、(1) より $\mathrm{End}_K(L)$ の $L$ 上の次元も $[L:K]$ である。次元が一致するため $\Psi$ は全射（同型）である。 結果として、$\mathrm{End}_K(L) = \mathrm{Im}(\Psi) \subset \mathrm{Im}(\Phi) \subset \mathrm{End}_K(L)$ となり、$\Phi$ は全射であることが示された。

以上より $\Phi: L[G] \to \mathrm{End}_K(L)$ は同型写像である。
$L[G]$ の $L$ 上の次元は基底 $G$ の元の個数 $|G| = n$ である。一方 $\mathrm{End}_K(L)$ の $L$ 上の次元は $[L:K]$ である。同型写像で次元が保たれるため、$[L:K] = n$ を得る。

(3) 最後に、$L/K$ が分離的かつ正規拡大であることを示す。
任意の $\alpha \in L$ をとる。$G$ の元によって $\alpha$ が移る先の要素の集合（軌道）を $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ とし（ただし $\alpha_1 = \alpha$ とする）、これらは互いに相異なるとする。 多項式 $f(x) = \prod_{i=1}^r (x - \alpha_i)$ を考える。$G$ の任意の元 $\sigma$ は根 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ を並べ替えるだけなので、多項式 $f(x)$ の係数は $G$ によってすべて固定される。 $K = L^G$ であるから、$f(x)$ の係数は $K$ に属する。すなわち、$f(x) \in K[x]$ である。 $\alpha$ は $f(x)$ の根であるため、$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式 $p(x)$ は $f(x)$ を割り切る。 $f(x)$ の根は構成上すべて相異なり、かつすべて $L$ に属している。したがってその約数である $p(x)$ も重根を持たず（分離的）、$L$ において一次式の積に完全に分解される（正規）。 $\alpha$ は $L$ の任意の元であったため、$L/K$ は分離的かつ正規拡大であり、すなわち定義よりGalois拡大である。 $G \subset \mathrm{Gal}(L/K)$ は明らかであり、位数の比較から $[L:K] = n = |G| \le |\mathrm{Gal}(L/K)| \le [L:K]$ となるため、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ も成立する。（証明終）

証明.
まず、定義から容易に導かれる包含関係の片側を示す。

1. $M \subset \beta(\alpha(M))$ の証明：
   $\alpha(M) = \mathrm{Gal}(L/M)$ は、定義により $M$ の元を全て固定する $L$ の自己同型のなす群である。したがって、任意の $x \in M$ は $\mathrm{Gal}(L/M)$ の全ての元によって固定される。これは $x \in L^{\mathrm{Gal}(L/M)} = \beta(\alpha(M))$ を意味する。よって $M \subset \beta(\alpha(M))$ である。
2. $H \subset \alpha(\beta(H))$ の証明：
   $\beta(H) = L^H$ は、$H$ の全ての元によって固定される $L$ の元の集合である。したがって、$H$ の任意の元 $\sigma$ は $L^H$ の全ての元を固定するため、$\sigma$ は $\mathrm{Gal}(L/L^H)$ に属する。すなわち $\sigma \in \alpha(\beta(H))$ であり、$H \subset \alpha(\beta(H))$ を得る。

次に、Artinの定理を用いて逆向きの包含関係（等号）を証明する。

• $H = \alpha(\beta(H))$ の証明：
  $H$ を $G$ の任意の部分群とし、不変体 $M' = \beta(H) = L^H$ を考える。 Artinの定理を体 $L$ と自己同型の部分群 $H$ に対して適用すると、$L$ の $L^H$ 上の拡大次数は $[L : L^H] = |H|$ であり、$L/L^H$ は分離的かつ正規拡大、すなわちGalois拡大となる。 Artinの定理の帰結より $\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ が成り立つ。すなわち $\alpha(\beta(H)) = H$ である。
• $M = \beta(\alpha(M))$ の証明：
  $M' = \beta(\alpha(M))$ とおく。定義より $M \subset M'$ は明らかである。
  すでに証明した $H = \alpha(\beta(H))$ において、$H = \alpha(M)$ を代入すると、$\alpha(\beta(\alpha(M))) = \alpha(M)$ となる。すなわち $\alpha(M') = \alpha(M)$ であり、$M$ を固定する自己同型群と $M'$ を固定する自己同型群は完全に一致する。
  ここで、もし $M \subsetneq M'$ ならば、ある元 $\gamma \in M' \smallsetminus M$ が存在する。 $L/K$ は分離的かつ正規拡大であるため、その中間体 $M$ 上の拡大 $L/M$ もまた有限次Galois拡大（分離的正規拡大）である。 したがって、$\gamma$ の $M$ 上の最小多項式 $p(x)$ は分離的であり、$L$ 内にすべての根を持つ。$\gamma \notin M$ より $\deg p \ge 2$ であるから、$p(x)$ は $\gamma$ と異なる共役元 $\gamma' \in L$ を持つ。 ここで、命題 1.3 を $M$ 上のGalois拡大 $L/M$ に適用すると、根 $\gamma$ を共役元 $\gamma'$ に移す $L$ の $M$-自己同型 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/M) = \alpha(M)$ が存在する。 しかし $\alpha(M) = \alpha(M')$ であるため、$\sigma$ は $M'$ の元である $\gamma$ を必ず固定しなければならず、$\sigma(\gamma) = \gamma$ となる。 これは $\sigma(\gamma) = \gamma' \neq \gamma$ に矛盾する。 したがって $M = M' = \beta(\alpha(M))$ である。

以上により、$\alpha$ と $\beta$ は互いに逆写像であり、一対一の対応を与える。（証明終）